Bochner-Martinelli-Formel

In der Mathematik ist die Bochner-Martinelli-Formel eine Verallgemeinerung der Cauchyschen Integralformel auf Funktionen mehrerer Veränderlicher.

Sie besagt, dass für eine auf dem Abschluss eines Gebiets D ⊂ C n {\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}} mit glattem Rand stetig differenzierbare Funktion f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }

f ( z ) = ∫ ∂ D f ( ζ ) ω ( ζ , z ) − ∫ D ∂ ¯ f ( ζ ) ∧ ω ( ζ , z ) {\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z)}

und insbesondere für eine holomorphe Funktion f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }

f ( z ) = ∫ ∂ D f ( ζ ) ω ( ζ , z ) {\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)}

jeweils mit

ω ( ζ , z ) = ( n − 1 ) ! ( 2 π i ) n 1 | z − ζ | 2 n ∑ 1 ≤ j ≤ n ( ζ ¯ j − z ¯ j ) d ζ ¯ 1 ∧ d ζ 1 ∧ ⋯ ∧ d ζ j ∧ ⋯ ∧ d ζ ¯ n ∧ d ζ n {\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}}

gilt. ω ( ζ , z ) {\displaystyle \omega (\zeta ,z)} wird auch als Bochner-Martinelli-Kern bezeichnet.

Literatur

  • Enzo Martinelli: Alcuni teoremi integrali per le funzioni analitiche di più variabili complesse, Atti della Reale Accademia d’Italia. Memorie della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 9 (7), S. 269–283, 1938.
  • Salomon Bochner: Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula, Annals of Mathematics, Second Series, 44 (4), S. 652–673, 1943.