Banachlimes

In der Funktionalanalysis ist ein Banachlimes, benannt nach Stefan Banach, ein dem Grenzwert ähnliches Funktional auf dem Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$.

Im Folgenden bezeichne ${\displaystyle T}$ den Linksshift

${\displaystyle T(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(x_{n+1})_{n\in \mathbb {N} }}$

und ${\displaystyle e=(1,1,1,\ldots )}$ die Folge, die nur aus Einsen besteht.

Ein Banachlimes ist ein stetiges, lineares Funktional ${\displaystyle \ell \colon \ell ^{\infty }\to \mathbb {R} }$, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

• ${\displaystyle \ell (e)=1,}$
• für alle ${\displaystyle x\in \ell ^{\infty }}$ gilt
  • ${\displaystyle \ell (x)=\ell (Tx),}$
  • falls ${\displaystyle x_{n}\geq 0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so ist auch ${\displaystyle \ell (x)\geq 0.}$

Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach lässt sich beweisen, dass ein Banachlimes existiert. Jedoch ist er nicht eindeutig bestimmt. Aus den in der Definition geforderten Eigenschaften lässt sich ferner folgern, dass ${\displaystyle \ell }$ den klassischen Limes, der auf dem Raum der konvergenten Folgen ${\displaystyle c}$ definiert ist, nach ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ fortsetzt:

${\displaystyle \ell (x)=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ für ${\displaystyle x\in c}$

Es gibt nicht-konvergente Folgen, die einen Banachgrenzwert besitzen. Ein einfaches Beispiel für eine solche ist

${\displaystyle x=(1,0,1,0,\ldots )}$

Aufgrund der Linearität von ${\displaystyle \ell }$ und der Invarianz unter ${\displaystyle T}$ ist der Banachgrenzwert von ${\displaystyle x}$ gleich ${\displaystyle 0{,}5}$.

Der Banachgrenzwert ist ein Beispiel für ein Funktional aus ${\displaystyle (\ell ^{\infty })'}$, das nicht von der Gestalt

${\displaystyle x\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}x_{n},\quad c\in \ell ^{1}}$

ist.

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 126.