Šťastné číslo

Tento článek pojednává o matematickém pojmu. Možná hledáte: Šťastná čísla – film Nory Ephron.

Šťastné číslo (anglicky happy number) je v matematice definováno následujícím způsobem: vezme se libovolné kladné celé číslo, nahradí se součtem druhých mocnin svých číslic a tento proces se opakuje, dokud se nedojde k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, se nazývají šťastná, ostatní pak nešťastná.

Formálněji řečeno: mějme číslo $n=n_{0}$ a definujme posloupnost $n_{1}$ , $n_{2}$ , ... kde $n_{i+1}$ je součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla $n_{i}$ . Poté $n$ je šťastné právě tehdy, když existuje i takové, že $n_{i}=1$ .

Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také šťastnými čísly.

Příklad

Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:

7² = 49

4² + 9² = 97

9² + 7² = 130

1² + 3² + 0² = 10

1² + 0² = 1

číslo 1663 je také šťastné číslo:

1² + 6² + 6² + 3² = 82

8² + 2² = 68

6² + 8² = 100

1² + 0² + 0² = 1

i číslo 13, obecně pokládané za nešťastné (například triskaidekafobiky), je dle této definice šťastné číslo:

1² + 3² = 10

1² + 0² = 1

Chování posloupnosti

Když $n$ není šťastné, pak se jeho posloupnost nedostane k 1. Namísto toho se zacyklí (například pro číslo 4):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Pokud $n$ má $m$ číslic, poté součet druhých mocnin jimi vyjádřených čísel může být nejvýše $81m$ (to nastane, pokud jsou všechny číslice devítky).
Pro $m=4$ a více je

n\geq 10^{m-1}>81m

tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. V číslech menších než 1000 je číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243.

V rozmezí 100 až 243 největší hodnotu, a to 163, dává číslo 199.
V rozmezí 100 až 163 největší hodnotu, a to 107, dává číslo 159.
V rozmezí 100 až 107 největší hodnotu, a to 50, dává číslo 107.

U čísel v intervalech [244,999], [164,243], [108,163] a [100,107] je vidět, že každé číslo větší než 99 se tímto procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem se začne, nakonec vznikne číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu [1,99] je buď šťastné nebo se zacyklí.

Šťastná prvočísla

Šťastné prvočíslo je takové šťastné číslo, které je zároveň prvočíslem. Šťastná prvočísla menší než 500 jsou:

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (Sekvence A035497 v OEIS).

Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru $10^{n}+3$ a $10^{n}+9$ pro n větší než 0 jsou šťastná. Je tomu tak proto, že:

Všechna tato čísla mají nejméně 2 číslice.
První číslicí je vždy 1.
Poslední číslicí je vždy 3 nebo 9.
Všechny další číslice jsou 0 (jejich druhá mocnina je taktéž 0, a tedy součet nijak neovlivní).
- Posloupnost při přidání 3 je: 1² + 3² = 10 → 1² = 1
- Posloupnost při přidání 9 je: 1² + 9² = 82 → 64 + 4 = 68 → 100 → 1

Palindromické prvočíslo 10¹⁵⁰⁰⁰⁶ + 7426247×10⁷⁵⁰⁰⁰ + 1, které má 150007 číslic, je taktéž šťastné číslo, neboť obsahuje mnoho nul, které součet neovlivňují a zbylá čísla dávají $1^{2}+7^{2}+4^{2}+2^{2}+6^{2}+2^{2}+4^{2}+7^{2}+1^{2}=176$ , což je šťastné číslo. Toto prvočíslo bylo objeveno Paulem Joblingem v roce 2005.

Šťastná čísla v jiné než desítkové soustavě

Definice šťastných čísel je závislá na desítkové soustavě. Tuto definici lze rozšířit na ostatní číselné soustavy.

K vyznačení čísel v jiných soustavách je možné používat číslo v pravém dolním indexu, které představuje zvolenou soustavu. Například $100_{2}$ představuje číslo 4 ve dvojkové soustavě. V každé číselné soustavě existují šťastná čísla. Například čísla

1_{b},10_{b},100_{b},1000_{b},...

jsou šťastná pro jakoukoliv číselnou soustavu $b$ .

Ze stejného důvodu jako výše se lze přesvědčit, že každé nešťastné číslo v číselné soustavě $b$ vede k zacyklení v číslech menších než $1000_{b}$ . Využije se to, že když $n<1000_{b}$ , pak součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla $n$ v soustavě $b$ je menší nebo roven

3(b-1)^{2}

Lze dokázat, že tento výraz je vždy menší než $b^{3}=1000_{b}$ . Z toho lze usoudit, že jakmile se posloupnost dostane do čísla menšího než $1000_{b}$ , zůstane v tomto rozmezí, a musí se tedy zacyklit (neboť čísel menších než $1000_{b}$ je jen konečně mnoho) či se dostat na 1.