Topologia discreta

En matemàtiques, s'anomena topologia discreta (sovint anomenada també topologia fina) a aquella topologia tal que tots els elements de l'espai són oberts. És la topologia amb més oberts que es pot definir sobre qualsevol espai.[1]

Propietats

Degut a la seva simplicitat se'n poden demostrar fàcilment moltes propietats. Per tot X espai topològic sobre un conjunt C amb la topologia discreta:[2]

  • Tot element de X és tancat.
  • Les components connexes de X són cadascun dels elements de C.
  • La dimensió topològica de X és zero.
  • X compleix tots els axiomes de separació.
  • X és separable si i només si és contable.

Mètrica discreta

La mètrica induïda per la topologia discreta s'anomena mètrica discreta. La distància entre dos punts x i y, d(x,y), en un espai de mètrica discreta ve definida com:

d ( x , y ) = { 1 si   x ≠ y 0 si   x = y {\displaystyle d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{si}}\ x\neq y\\0&{\mbox{si}}\ x=y\end{matrix}}\right.}

Referències

  1. ↑ Weisstein, Eric W., «Discrete Topology» a MathWorld (en anglès).
  2. ↑ Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr.. Counterexamples in Topology (en anglès). Dover reprint of 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995, p. 41-42. ISBN 978-0-486-68735-3. 

Vegeu també

  • Topologia grollera

Enllaços externs

  • Ejemplos y propiedades de espacios topológicos finitos Matesfacil (castellà)