Teoria de categories

La teoria de categories és una branca de la matemàtica que estudia de manera abstracta les estructures matemàtiques i llurs relacions. Les categories avui dia s'usen com a noció unificadora en la major part de les branques de la matemàtica i en algunes àrees de les ciències de la computació i física teòrica. Foren proposades per Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane en el període 1942-1945, en connexió amb la topologia algebraica.

Definició de categoria

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ és una categoria si té:

1. una classe d'objectes de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, anomenat ${\displaystyle {Ob(}{\mathcal {A}})}$.
2. per tot ${\displaystyle {A,B}\in {Ob(}{\mathcal {A}}{)}}$, un conjunt de morfismes de ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$, anomenat ${\displaystyle Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}$. Els seus elements ${\displaystyle {f}\in {Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}}$ s'escriuen com ${\displaystyle {f:A}\rightarrow B}$
3. per tot ${\displaystyle {A,B,C,D}\in Ob({\mathcal {A}})}$, i per tot ${\displaystyle {f}\in {Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}}$, ${\displaystyle {g}\in {Mor_{\mathcal {A}}(B,C)}}$ es compleixen les següents propietats:
   1. existeix ${\displaystyle {h}\in {Mor(A,C)}}$ tal que ${\displaystyle h=gf:=g{\circ {}}_{\mathcal {A}}\;f}$, és a dir, tenim l'aplicació

      ${\displaystyle {\begin{matrix}{Mor(B,C)\times {}Mor(A,B)}&\longrightarrow {}&{Mor(A,C)}\\{(g,f)}&\mapsto &{gf}\end{matrix}}}$

   2. propietat associativa en la composició, és a dir ${\displaystyle k(gf)=(kg)f}$, per tot ${\displaystyle k\in {Mor_{\mathcal {A}}(C,D)}}$.
   3. existència del morfisme identitat ${\displaystyle I_{B}^{\mathcal {A}}\in Mor_{\mathcal {A}}(B,B)}$ tal que ${\displaystyle I_{B}^{\mathcal {A}}f=f}$ i ${\displaystyle gI_{B}^{\mathcal {A}}=g}$.

Aplicacions

Un dels àmbits d'aplicació és al llenguatge de programació Haskell amb la categoria Hask on els objectes són els tipus i els morfismes són les funcions.^[1][2]

Vegeu també

• Categoria (matemàtiques)
• Functor: correspondència entre categories.

Referències