Funció gamma el·líptica

En matemàtiques, la funció gamma el·líptica és una generalització de la funció q-gamma, la qual és en si mateixa un q-anàleg de la funció gamma ordinària.

Està íntimament relacionada amb la funció estudiada per Jackson (1905), i pot ser expressada en termes de la funció gamma triple.

La seva representació és la següent:

Γ ( z ; p , q ) = ∏ m = 0 ∞ ∏ n = 0 ∞ 1 − p m + 1 q n + 1 / z 1 − p m q n z . {\displaystyle \Gamma (z;p,q)=\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+1}q^{n+1}/z}{1-p^{m}q^{n}z}}.}

Aquesta obeeix diverses identitats:

Γ ( z ; p , q ) = 1 Γ ( p q / z ; p , q ) {\displaystyle \Gamma (z;p,q)={\frac {1}{\Gamma (pq/z;p,q)}}\,}
Γ ( p z ; p , q ) = θ ( z ; q ) Γ ( z ; p , q ) {\displaystyle \Gamma (pz;p,q)=\theta (z;q)\Gamma (z;p,q)\,}
Γ ( q z ; p , q ) = θ ( z ; p ) Γ ( z ; p , q ) , {\displaystyle \Gamma (qz;p,q)=\theta (z;p)\Gamma (z;p,q),\,} on θ {\displaystyle \theta } és la funció q-theta.

Quan p = 0 {\displaystyle p=0} , es redueix al símbol q-Pochhammer infinit:

Γ ( z ; 0 , q ) = 1 ( z ; q ) ∞ . {\displaystyle \Gamma (z;0,q)={\frac {1}{(z;q)_{\infty }}}.}

Fórmula de multiplicació

Definim

Γ ~ ( z ; p , q ) := ( q ; q ) ∞ ( p ; p ) ∞ ( θ ( q ; p ) ) 1 − z ∏ m = 0 ∞ ∏ n = 0 ∞ 1 − p m + 1 q n + 1 − z 1 − p m q n + z . {\displaystyle {\tilde {\Gamma }}(z;p,q):={\frac {(q;q)_{\infty }}{(p;p)_{\infty }}}(\theta (q;p))^{1-z}\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+1}q^{n+1-z}}{1-p^{m}q^{n+z}}}.}

A continuació, s'hi afegeix la següent fórmula r = q n {\displaystyle r=q^{n}} (Felder & Varchenko (2003)).

Γ ~ ( n z ; p , q ) Γ ~ ( 1 / n ; p , r ) Γ ~ ( 2 / n ; p , r ) ⋯ Γ ~ ( ( n − 1 ) / n ; p , r ) = ( θ ( r ; p ) θ ( q ; p ) ) n z − 1 Γ ~ ( z ; p , r ) Γ ~ ( z + 1 / n ; p , r ) ⋯ Γ ~ ( z + ( n − 1 ) / n ; p , r ) . {\displaystyle {\tilde {\Gamma }}(nz;p,q){\tilde {\Gamma }}(1/n;p,r){\tilde {\Gamma }}(2/n;p,r)\cdots {\tilde {\Gamma }}((n-1)/n;p,r)=\left({\frac {\theta (r;p)}{\theta (q;p)}}\right)^{nz-1}{\tilde {\Gamma }}(z;p,r){\tilde {\Gamma }}(z+1/n;p,r)\cdots {\tilde {\Gamma }}(z+(n-1)/n;p,r).}

Referències

  • Jackson, F. H. «The Basic Gamma-Function and the Elliptic Functions». Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. The Royal Society, 76, 508, 1905, p. 127–144. DOI: 10.1098/rspa.1905.0011. ISSN: 0950-1207.
  • Gasper, George; Rahman, Mizan. Basic hypergeometric series. 96. 2nd. Cambridge University Press, 2004. ISBN 978-0-521-83357-8. 
  • Ruijsenaars, S. N. M. «First order analytic difference equations and integrable quantum systems». Journal of Mathematical Physics, 38, 2, 1997, p. 1069–1146. DOI: 10.1063/1.531809. ISSN: 0022-2488.